Números Complexos

Definição

         Número complexo é todo número da forma a + bi, em que a e b são números reais e i é a unidade imaginária.

Exemplos:

a) 5 - 2i
b) 7 + i
c) 3i
d) 0i (que é igual a zero)

Os exemplos anteriores é a forma algébrica de um número complexo, onde temos a parte real e a parte imaginária, por exemplo o número complexo 5 - 2i . a parte real é 5 e a parte imaginária é 2.

Exemplo 1

Determinar x, com x pertencente ao números reais, de modo que o número complexo                         8 + (3x - 6)i seja real.

Solução

Para que o número complexo 8 + (3x - 6)i seja real, temos que ter 3x - 6 = 0, daí  3x = 6, então segue-se que x = 2

Equações do 1º grau

Preparamos para vocês uma lista de exercícios excelentes para testar seus conhecimentos em equações do 1º grau,lápis e papel nas mãos e vamos aos exercícios.

 

Exercício Proposto - Equação do 1º grau

1) 2 x + 6 = x + 1                                                                       2) 5 x – 3 = 2 x + 9

 3) 3 (2x-3) + 2 (x + 1) = 3x + 18                                              4) 2x + 3 (x – 5) = 4x + 9

 5) 2 (x + 1) – 3 (2x – 5) = 6x – 3                                              6) 3x – 5 = x – 2 

7) 3x – 5 = 13                                                                            8) 3x + 5 = 2 

9) x – (2x – 1) = 23                                                                    10) 2x – (x – 1) = 5 – (x – 3) 

11) 18x - 43 = 65                                                                  12) 23x - 16 = 14 - 17x   

13) x(x + 4) + x(x + 2) = 2x² + 12                      14) (x - 5)/10 + (1 - 2x)/5 = (3-x)/4  

15) x - 17 = -9                                                                      28) 3. (x +2) + 5 = x + 12

                                                              
16) 2x = -7                                                                         29) x + 4.(x - 1) = 9 - 2.(x + 3)


17) 3x + 2 = 2x - 11                                                          30) 5.(3x - 2) = 2.(6x + 3)                                            

18) 2x = 16                                                                        31) 2.(3x-1) + 2 .(3-x)

19)  x/2  = -5                                                                     32) 7.(x-1) = 2.(3x+1)
            
 20)  2x + 14  = 5x - 1                                                      33) 2.(3 - y) + 7.(2 - y) = 15 - 4y

21) 4x - 5 = 6x + 11                                                     34) 2.(x - 2) + 5.( 2 - x) + 6.(x + 1)= 0

22) 5x + 4 - 2x = 26 - 3x                                             35) 3. (x - 2) - (1 - x) = 13

23) 5x - 7 - 2x - 2 = 0                                                36) x - (x + 1) = 12 - (3x - 2)

24) x - 8 + 5x = -3 +2x + 7                                        37) x/2  = 12/3
                                                                                                
25) 4x + 9 = 3x + 5                                                    38)2x + 1 = x - 3 

26) -10 + 4 - 2x = -4x - 7                                         39) 5x + 5 = 40                                                                                                                                                      

27) 10x - 8 - 2 = 7x - 4                                             40) 6x - 10 = 50                                                                                                                                          

Equação do 1º grau

 Introdução a Equação do 1° grau

Aula 1

Definição:
Equação é toda sentença matemática aberta expressa por uma igualdade.
Exemplo:
a) x + 4 = 5
b) 2x - 5 = 10

Como podemos observar os exemplos acima são sentenças abertas pois devemos colocar no lugar da letra x um valor para afim de obtermos uma igualdade verdadeira.

Solução de uma equação.
Para resolver uma equação do 1° grau temos que encontrarmos um valor para a variável afim de tornar a igualdade verdadeira. Observe o exemplo a seguir:

Dada a equação do 1º grau 2x - 5 = 5

Para x = 1, temos; 2 x 1 - 5 = 2 - 5 = -3 , falso pois -3 é diferente de 5
Para x = 2 , temos; 2 x 2 - 5 = 4 - 5 = -1 , falso, pois - 1 é diferente de 5
Para x = 3 , temos; 2 x 3 - 5 = 6 -5 = 1 , falso, pois 1 é diferente de 5
Para x = 4 , temos 2 x 4 - 5 = 8 - 5 = 3 , falso, pois 3 é diferente de 5
Para x = 5 , temos; 2 x 5 -5 = 10 -5 = 5, verdadeiro,pois 5 é igual 5


Observando concluir que o único valor encontrado para que a sentença seja verdadeira é quando assume valor igual a 5. Portanto, o número 5 é solução da equação .

Exercício Proposto.
1º - Resolva as equações do 1º grau a seguir.
a) 2x = 12
b) 3x - 2 = 14
c) 4x + 10 = 40
d) 5x - 3 = 60
e) 10x + 25 = 45
f) x - 4 = 4
g) x + 9 = 10

Combinações simples

Definição


Dados m elementos do conjunto I = {a¹, a², ...a}, chama-se combinações simples de p elementos de I todo subconjunto de I formado por p elementos com m e p números naturais e p menor ou igual a m.


Fórmula do cálculo da combinação simples.

Cm,p = m!/p!(m - p)!

Exemplo 1.

   Calcule:

a)   C7,5 = 7!/5!(7 - 5)! = 7!/5! x 2! = 7 x 6 x 5!/5! x 2 = 42/2 = 21

b)   C4,4 = 4!/4!(4 - 4)! = 4!/4! x 0! = 4!/4! = 1

Exemplo 2

Entre oito policiais serão escolhidos cinco para garantir a segurança pessoal de um senador da republica durante um evento. Quantos grupos de segurança diferentes podem ser formados se os escolhidos terão funções idênticas?

Solução

Como temos oito policiais e ordem da escolha não altera o grupo, então podemos usar a fórmula da combinação simples de 8 tomado 5 a 5.

C8,5 = 8!/5!(8 - 5)! = 8!/5! x 3! = 8 x 7 x 6 x 5! /5! x 3 x 2 x 1= 4 x 7 x 3 = 84.

Portanto, temos 84 grupos de segurança.

Exercícios Propostos

1º - Uma comissão de quatro membros deve ser escolhida entre sete pessoas. De quantos modos diferentes essas comissão pode ser formada se seus componentes terão funções idênticas?

2º - Cada uma das dez equipes que disputam um campeonato de futebol enfrenta cada uma das demais um única vez. Quantos jogos compõem esse campeonato?

3º - Considere sete pontos distintos de uma circunferência, conforme a figura:

 

a) Quantas retas ficam determinadas por esses pontos?

b) Quantos triângulos ficam determinados por esses pontos?

c) Quantos quadriláteros convexos ficam determinados por esses pontos?

d) Quantos pentágonos convexos ficam determinados por esses pontos?

e) De todos os pentágonos determinados por esses pontos, quantos têm como vértices o ponto A?

f) De todos os pentágonos convexos determinados por esses sete pontos, quantos têm como lado o segmento AB?

4º - As retas r e s representadas abaixo são paralelas.

a) Quantas retas ficam determinadas por esses pontos?

b) Quantos triângulos ficam determinados por esses dez pontos distintos?e

c) De todos os triângulos determinados por esses dez pontos distintos, quantos têm como vértices o ponto H?

d) De todos os triângulos determinados por esses dez pontos distintos, quantos têm um lado contido na reta r?

e) Quantos quadriláteros convexos ficam determinados por esses dez pontos distintos?

5º - Uma salada de frutas deve conter quantidade iguais de quatro tipos de frutas escolhidas entre uva, maçã, laranja, mamão, morango e melão. Quantas saladas diferentes poderão ser preparadas se maçã e laranja forem ingredientes obrigatórios?

6º - Uma equipe formada por dois arquitetos e por três engenheiros será escolhidos entre cinco arquitetos e seis engenheiros. De quantas maneiras diferentes essa equipe pode ser formada?

Bom Exercício!!

Fatorial de um número natural

Definição

 Seja m um número natural, com m maior ou igual  2. define-se o fatorial de m, representado por m!, como o produto dos números naturais consecutivos m, m - 1, m - 2, ....., 1,isto é:
m! = m(m - 1) (m - 2) ....1.

Observação.
0! = 1
1! = 1, então 0! = 1!

Exemplos.
a) 2! = 2 x 1 = 2
b) 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
c) 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120.
d) 10!/9! = (10 x 9!)/9! = 10


Exercícios propostos.

1º -  Calcule:
a) 7!
b) 3! x 2!
c) 4! - 2!
d) 0!/3!
2º - Classifique em verdadeira ou falsa cada uma das afirmações.
a) 3! + 2! = 5!
b) 3! x 2! = 6!
c) 4! + 4! = 2 x 4!
d) m! = m(m - 1) ( m - 2)!, para todo m natural maior que 2
3º - Simplifique as frações;
a) 6!/3!
b) ( 5! x 8!)/(4! x 7!)
c) m!/(m - 1)!
d) m!/(m + 2)!
4º - Resolvas as equaçoes.
a) (m + 2)!/m! = 12
b) (m - 2)!/(m - 1)! = 1/5
6º - Determine o conjunto dos valores de m tais que:
              m! + (m + 1)!/(m - 1)! = 15.

Bom exercício!!!

Inequações Trigonométricas

Definição


    Inequações do tipo Sen x < k ou Cos x < k ( com as relações de maior ou igual que, menor ou igual que, ou diferente) sendo k uma constante real, são chamadas de inequações trigonométricas imediatas.

Porcentagem

Porcentagem

As razões de denominador 100 são chamadas de razões centesimais ou taxas percentuais ou porcentagens.

Exemplos.

* 30% = 30/100 = 0,30
* 50% = 50/100 = 0,50


Exemplo prático 1:
  Em lote de 50 lâmpadas, 13 apresentaram defeito. Qual é a razão entre o número de lâmpadas defeituosas e o total de lâmpadas?

Solução.

A razão é dada por:  
                                 13/50 multiplicando o numerador e o denominador desta fração por dois obtemos: 26/100 que significa 26% ou seja, se o lote tivesse 100 lâmpadas, 26 estariam com defeito.

Exemplo prático 2:

 De um exame para habilitação de motoristas participaram 380 candidatos. Sabe-se que a taxa de reprovação foi de 15%. Qual foi o número de reprovados?

Solução.

Como 15% = 15/100 = 0,15 ,então fazemos a multiplicação de 0,15 por 380. Ou seja 0,15 x 380 = 57.

Portanto, foram 57 candidatos reprovados.

Exercício Proposto

1º - Calcule:
a) 20% de 600
b) 3,5% de 400
c) 16,2% de 80
d) 7,5% de 400

2º - Um vendedor recebe um salário fixo de R$ 250,00 mais 4% sobre o total de vendas no mês. Qual será o seu salário se , em certo mês, o total de vendas efetuadas for de R$ 15 000,00?

3º - Calcule o valor de x em cada caso;
a) 10 é x% de 40
b) 3,6 é x% de 72
c) 120 é x% de 150
d) 136 é x% de 400

4º - Do salário mensal de Vítor, 1/10 é reservado para o pagamento de seu plano de saúde, 30% são usados para pagamento do aluguel, 35% são gastos com alimentação. Descontadas essas despesas, sobram R$ 300,00 a Vítor. Qual é o seu salário?

5º - Em uma classe de 40 alunos, 60% são moças. Sabendo que 3/8 dos rapazes e 75% das moças foram aprovados, determine:
a) O número de alunos que não conseguiram aprovação.
b) A taxa percentual de alunos aprovados.


Entre no endereço: https://sites.google.com/site/matematicaexercicioeaplicacao/ e resolva a lista de exercício referente a esse assunto.

Trigonometria na circunferência

Estudo da variação de sinal do Seno, Cosseno e da Tangente na circunferência trigonométrica

Na figura abaixo, temos que o Seno, Cosseno e tangente no 1º quadrante é positivo

Na figura abaixo, temos que o Seno é positivo no 2º quadrante, o Cosseno é negativo no 2º quadrante e a Tangente é negativa no 2º quadrante.

Na figura abaixo, temos que o Seno é negativo no 3º quadrante, o Cosseno é negativo no 3º quadrante e a Tangente é positiva no 3º quadrante.

Na figura abaixo, temos que o Seno é negativo no 4º quadrante, o Cosseno é positivo no 4º quadrante e a Tangente é negativa no 4º quadrante

Lembrete: Os quadrantes na circunferência trigonométrica é marcado no sentido anti-horário, observe a figura a seguir.

Análise Combinatória

Continuação"Análise Combinatória"

Agrupamentos.

Classificação dos agrupamentos.

                        A análise combinatória identifica dois tipos de agrupamentos: os arranjos e as combinações.

* Arranjos são agrupamentos em que se considera a ordem dos elementos, qualquer mudança na ordem dos elementos altera o agrupamento.

Exemplo 1 
            Ao formar números naturais de três algarismos distintos escolhidos entre os algarismos 2, 4, 6, 7 e 8, estaremos arranjando esses cincos algarismos três a três.

246 é diferente de 426

Arranjos Simples.

Definição.

                    Dados os m elementos distintos do conjunto I = {a¹, a² , a³, ...}, Chama-se de arranjo simples de p elementos de I toda sequência formada por p elementos distintos de I com p pertencente N* e p menor que m.

Fórmula do cálculo de arranjos simples

Am,p = m!/(m - p)!

Exemplo 2

              Vamos obter o valor de A4,2 + A7,3.

 Temos:

                        A4,2 = 4!/(4 - 2)! = (4 x 3 x 2!)/2! = 4 x 3 = 12

                       A7,3 = 7!/(7 - 3)! = (7 x 6 x 5 x 4!)/4! = 7 x 6 x 5 = 210

 logo segui-se  A4,2 + A7,3 = 12 + 210 = 222.

Exemplo 3

             O quadrangular final de um torneio mundial de basquete é disputado por quatro seleções: Brasil, Cuba, Rússia e EUA. De quantas maneiras distintas podemos ter os três primeiros colocados?

Solução

            Como a ordem do resultado é importante, então podemos usar a fórmula de arranjo simples de quatro elementos tomado três a três.

                                  A4,3 = 4!/(4 - 3)! = (4 x 3 x 2 x 1!)/1! = 4 x 3 x 2  = 24

Portanto, temos  24 maneiras distintas para termos os três primeiros colocados.

Exercícios Propostos.

1º - Calcule:
a)  A9,3                                                                                       b)  A8,4 
2º - Resolva a equação  Ax,2 = 20.

3º - Uma cinemateca dispõe de seis filmes e oferece uma sessão dupla, na qual serão exibidos dois desses filmes: o primeiro às 16 horas, e o segundo às 18 horas. De quantas maneiras distintas a sequência de filmes pode ser escolhidos?

4º- Para eleição do corpo dirigente de uma empresa candidatam-se oito pessoas. De quantas maneiras poderão ser escolhidos presidente e vice-presidente?

5º - A 1ª fase de um torneio de futebol é disputado por 15 equipes no sistema de turno e returno( a equipe A, por exemplo, joga com a equipe B duas vezes: uma em seu campo e a outra no campo de adversário). Quantas partidas são disputadas ao todo, se os dois melhores classificados da 1ª fase fazem a final no mesmo sistema?

6º - Uma pesquisa deseja saber a ordem de preferência dos três maiores ídolos do esporte no Brasil.
a) Quantas respostas diferentes são possíveis, se a cada entrevistado é apresentado uma lista com o nome de 20 esportistas?
b) Quantas dessas respostas têm o nome de Guga como 1º colocado?
c) Em quantas respostas não aparece o nome de Guga?

7º - Uma emissora de tevê dispõe, ao todo, de 20 programas distintos.
a) Quantas são as possíveis sequências de seis programas distintas a serem exibidos em um dia?
b) Suponha que, entre os 20 programas, haja apenas um musical. De quantas maneiras a programação acima pode ser escolhida de modo que sempre se encerre com programa musical?

8º - Para animar uma festa, uma orquestra dispõe de cinco tipos de música: valsa, samba, dance music, MPB  e rock. De quantas maneiras o anfitrião poderá escolher os ritmos de abertura e fechamento da festa, se ele já decidiu manter samba no restante da festa e não pretende repetir nenhum ritmo?

9º - Dispondo dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, quantos números de quatro algarismos distintos podemos formar?

10º - Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9:
a) quantos números de três algarismos distintos podemos formar?
b) quantos números de três algarismos distintos são divisíveis por 5?
c) quantos números de três algarismos distintos não são divisíveis por 5?

Introdução a Análise Combinatória

Os Principio da Análise Combinatória

O princípio fundamental da contagem

             Se os experimentos E¹ ; E² e E³ podem apresentar n¹, n²  e n³ resultados distintos, então o número de resultados distintos, que o experimento compostos de E¹, E² e E³ pode apresentar, nessa ordem é dada pelo produto n¹ . n² . n³

Exemplo 1

     Quantos números de três algarismos podem ser representados com os algarismos 2, 3, 4, 7, 8 e 9?

Solução.

Como  podemos repetir os algarismos, então temos 6 possibilidades na casa das centenas, 6 possibilidades na casa das dezenas e 6 possibilidades na casa das unidades

                  ___  ___  ___

                    6      6      6     daí pelo princípio fundamental da contagem temos 6 x 6 x 6 = 216 números de três algarismos podemos formar.

Exemplo 2

         

     Quantos números naturais de quatro algarismos distintos podem ser representados com os algarismos 1, 2 , 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9?

Solução.

Como não podemos repetir os algarismos, pois são algarismos distintos,então temos 9 possibilidades para casa da unidade de milhar, 8 possibilidades para casa das centenas, 7 possibilidades para casa das dezenas e 6 possibilidades para casa das unidades, assim temos:

               ___ ___ ___ ___ 

                 9     8     7     6       daí pelo principio fundamental da contagem temos 9 x 8 x 7 x 6 = 3024 números de quatro algarismos distintos podemos formar.

Exercícios propostos

1º - O vagão de um trem possui seis portas. De quantas maneiras distintas um passageiro pode entrar          no trem e sair dele por uma porta diferente da que usou para entrar?

2º - Um jantar constará de três partes: entrada, parto principal e sobremesa. De quantas maneiras                distintas ele poderá ser composto, se há como opções oito entradas, cincos pratos principal e               quatro sobremesas?

3º - Quantos números de três algarismos distintos existem?

4º - Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos números ímpares de quatro algarismos podemos           formar?

5º - Quantos números de três algarismos têm pelo menos dois algarismos repetidos?

6º - Deseja-se formar números divisíveis por 5, compostos de quatro algarismos distintos. Quantas           são as possibilidades dispondo-se dos algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6?

7º - Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 formam-se números de quatro algarismos distintos.             Quantos são maiores que 4 326?

8º - Quantos números de dois algarismos distintos podem ser formados utilizando-se exclusivamente         algarismos pares ou exclusivamente algarismos ímpares?

Atividade avaliativa - 1ª série do Ensino Médio

1ª - Dada a função f  de  R em R, tal que f(x) = 10 - x. Calcule:

a) f(0)

b) f(3)

c) f(-2)

d) f(1/2) 

2ª - Um fazendeiro estabelece o preço de saca de café, em função da quantidade de sacas adquiridas pelo comprador. Usando a equação P = 50 + 200/x , em que P é o preço em dólares e x é o número de sacas vendidas.

a) Quanto deverá pagar, por saca, um comprador que adquirir 100 sacas?

b) Quanto deverá pagar, por saca, um comprador que adquirir 200 sacas?

3ª - Determine o domínio e conjunto imagem da f representada a seguir:

Professor: Elenito Galdino

Atividade avaliativa

1ª - Classifique em verdadeira ou falsa as igualdades a seguir:

a) 2 + 5 + 7 = 10 + 4

b) 5 + 2 + 1 = 10

c) 14 + 20 = 30 + 5

d) 3 + 10 = 15 + 10

e) 4 + 5 = 13

f) 8 + 5 = 10 + 3

g) 34 + 45 = 60

h) 45 + 12 = 100

2ª - Determine o valor de x nas igualdades a seguir:

a) x + 1 = 6

b) 2x = 16

c) x + 5 = 8

d) x + 7 = 12

f) 6x = 18

g) x + 3 = 5

h) 8 + x = 18

3ª - Expresse cada enunciado a seguir na linguagem matemática:

a) O triplo de um número mais doze é igual a vinte;

b) A soma de dois números naturais consecutivo é igual a trinta;

c) A quinta parte de um número menos treze é igual a dez;

d) A terça parte de um número é igual a vinte;

 

 

Assuntos da avaliação do 3º Bimestre CRV

9º anos (A e B)

Estatística:

* Frequência;

Medidas estatísticas:

* Média aritmética

* Média aritmética ponderada

* Moda

Noções de probabilidade

8º anos (A e B)

* Frações algébricas

* Equações Fracionárias

* Equações literais