Análise Combinatória

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Agrupamentos.

Classificação dos agrupamentos.

                        A análise combinatória identifica dois tipos de agrupamentos: os arranjos e as combinações.

* Arranjos são agrupamentos em que se considera a ordem dos elementos, qualquer mudança na ordem dos elementos altera o agrupamento.

Exemplo 1 
            Ao formar números naturais de três algarismos distintos escolhidos entre os algarismos 2, 4, 6, 7 e 8, estaremos arranjando esses cincos algarismos três a três.

246 é diferente de 426

Arranjos Simples.

Definição.

                    Dados os m elementos distintos do conjunto I = {a¹, a² , a³, ...}, Chama-se de arranjo simples de p elementos de I toda sequência formada por p elementos distintos de I com p pertencente N* e p menor que m.

Fórmula do cálculo de arranjos simples

Am,p = m!/(m - p)!

Exemplo 2

              Vamos obter o valor de A4,2 + A7,3.

 Temos:

                        A4,2 = 4!/(4 - 2)! = (4 x 3 x 2!)/2! = 4 x 3 = 12

                       A7,3 = 7!/(7 - 3)! = (7 x 6 x 5 x 4!)/4! = 7 x 6 x 5 = 210

 logo segui-se  A4,2 + A7,3 = 12 + 210 = 222.

Exemplo 3

             O quadrangular final de um torneio mundial de basquete é disputado por quatro seleções: Brasil, Cuba, Rússia e EUA. De quantas maneiras distintas podemos ter os três primeiros colocados?

Solução

            Como a ordem do resultado é importante, então podemos usar a fórmula de arranjo simples de quatro elementos tomado três a três.

                                  A4,3 = 4!/(4 - 3)! = (4 x 3 x 2 x 1!)/1! = 4 x 3 x 2  = 24

Portanto, temos  24 maneiras distintas para termos os três primeiros colocados.

Exercícios Propostos.

1º - Calcule:
a)  A9,3                                                                                       b)  A8,4 
2º - Resolva a equação  Ax,2 = 20.

3º - Uma cinemateca dispõe de seis filmes e oferece uma sessão dupla, na qual serão exibidos dois desses filmes: o primeiro às 16 horas, e o segundo às 18 horas. De quantas maneiras distintas a sequência de filmes pode ser escolhidos?

4º- Para eleição do corpo dirigente de uma empresa candidatam-se oito pessoas. De quantas maneiras poderão ser escolhidos presidente e vice-presidente?

5º - A 1ª fase de um torneio de futebol é disputado por 15 equipes no sistema de turno e returno( a equipe A, por exemplo, joga com a equipe B duas vezes: uma em seu campo e a outra no campo de adversário). Quantas partidas são disputadas ao todo, se os dois melhores classificados da 1ª fase fazem a final no mesmo sistema?

6º - Uma pesquisa deseja saber a ordem de preferência dos três maiores ídolos do esporte no Brasil.
a) Quantas respostas diferentes são possíveis, se a cada entrevistado é apresentado uma lista com o nome de 20 esportistas?
b) Quantas dessas respostas têm o nome de Guga como 1º colocado?
c) Em quantas respostas não aparece o nome de Guga?

7º - Uma emissora de tevê dispõe, ao todo, de 20 programas distintos.
a) Quantas são as possíveis sequências de seis programas distintas a serem exibidos em um dia?
b) Suponha que, entre os 20 programas, haja apenas um musical. De quantas maneiras a programação acima pode ser escolhida de modo que sempre se encerre com programa musical?

8º - Para animar uma festa, uma orquestra dispõe de cinco tipos de música: valsa, samba, dance music, MPB  e rock. De quantas maneiras o anfitrião poderá escolher os ritmos de abertura e fechamento da festa, se ele já decidiu manter samba no restante da festa e não pretende repetir nenhum ritmo?

9º - Dispondo dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, quantos números de quatro algarismos distintos podemos formar?

10º - Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9:
a) quantos números de três algarismos distintos podemos formar?
b) quantos números de três algarismos distintos são divisíveis por 5?
c) quantos números de três algarismos distintos não são divisíveis por 5?