Combinações simples

Definição


Dados m elementos do conjunto I = {a¹, a², ...a}, chama-se combinações simples de p elementos de I todo subconjunto de I formado por p elementos com m e p números naturais e p menor ou igual a m.


Fórmula do cálculo da combinação simples.

Cm,p = m!/p!(m - p)!

Exemplo 1.

   Calcule:

a)   C7,5 = 7!/5!(7 - 5)! = 7!/5! x 2! = 7 x 6 x 5!/5! x 2 = 42/2 = 21

b)   C4,4 = 4!/4!(4 - 4)! = 4!/4! x 0! = 4!/4! = 1

Exemplo 2

Entre oito policiais serão escolhidos cinco para garantir a segurança pessoal de um senador da republica durante um evento. Quantos grupos de segurança diferentes podem ser formados se os escolhidos terão funções idênticas?

Solução

Como temos oito policiais e ordem da escolha não altera o grupo, então podemos usar a fórmula da combinação simples de 8 tomado 5 a 5.

C8,5 = 8!/5!(8 - 5)! = 8!/5! x 3! = 8 x 7 x 6 x 5! /5! x 3 x 2 x 1= 4 x 7 x 3 = 84.

Portanto, temos 84 grupos de segurança.

Exercícios Propostos

1º - Uma comissão de quatro membros deve ser escolhida entre sete pessoas. De quantos modos diferentes essas comissão pode ser formada se seus componentes terão funções idênticas?

2º - Cada uma das dez equipes que disputam um campeonato de futebol enfrenta cada uma das demais um única vez. Quantos jogos compõem esse campeonato?

3º - Considere sete pontos distintos de uma circunferência, conforme a figura:

 

a) Quantas retas ficam determinadas por esses pontos?

b) Quantos triângulos ficam determinados por esses pontos?

c) Quantos quadriláteros convexos ficam determinados por esses pontos?

d) Quantos pentágonos convexos ficam determinados por esses pontos?

e) De todos os pentágonos determinados por esses pontos, quantos têm como vértices o ponto A?

f) De todos os pentágonos convexos determinados por esses sete pontos, quantos têm como lado o segmento AB?

4º - As retas r e s representadas abaixo são paralelas.

a) Quantas retas ficam determinadas por esses pontos?

b) Quantos triângulos ficam determinados por esses dez pontos distintos?e

c) De todos os triângulos determinados por esses dez pontos distintos, quantos têm como vértices o ponto H?

d) De todos os triângulos determinados por esses dez pontos distintos, quantos têm um lado contido na reta r?

e) Quantos quadriláteros convexos ficam determinados por esses dez pontos distintos?

5º - Uma salada de frutas deve conter quantidade iguais de quatro tipos de frutas escolhidas entre uva, maçã, laranja, mamão, morango e melão. Quantas saladas diferentes poderão ser preparadas se maçã e laranja forem ingredientes obrigatórios?

6º - Uma equipe formada por dois arquitetos e por três engenheiros será escolhidos entre cinco arquitetos e seis engenheiros. De quantas maneiras diferentes essa equipe pode ser formada?

Bom Exercício!!