Trigonometria na circunferência

Estudo da variação de sinal do Seno, Cosseno e da Tangente na circunferência trigonométrica

Na figura abaixo, temos que o Seno, Cosseno e tangente no 1º quadrante é positivo

Na figura abaixo, temos que o Seno é positivo no 2º quadrante, o Cosseno é negativo no 2º quadrante e a Tangente é negativa no 2º quadrante.

Na figura abaixo, temos que o Seno é negativo no 3º quadrante, o Cosseno é negativo no 3º quadrante e a Tangente é positiva no 3º quadrante.

Na figura abaixo, temos que o Seno é negativo no 4º quadrante, o Cosseno é positivo no 4º quadrante e a Tangente é negativa no 4º quadrante

Lembrete: Os quadrantes na circunferência trigonométrica é marcado no sentido anti-horário, observe a figura a seguir.

Análise Combinatória

Continuação"Análise Combinatória"

Agrupamentos.

Classificação dos agrupamentos.

                        A análise combinatória identifica dois tipos de agrupamentos: os arranjos e as combinações.

* Arranjos são agrupamentos em que se considera a ordem dos elementos, qualquer mudança na ordem dos elementos altera o agrupamento.

Exemplo 1 
            Ao formar números naturais de três algarismos distintos escolhidos entre os algarismos 2, 4, 6, 7 e 8, estaremos arranjando esses cincos algarismos três a três.

246 é diferente de 426

Arranjos Simples.

Definição.

                    Dados os m elementos distintos do conjunto I = {a¹, a² , a³, ...}, Chama-se de arranjo simples de p elementos de I toda sequência formada por p elementos distintos de I com p pertencente N* e p menor que m.

Fórmula do cálculo de arranjos simples

Am,p = m!/(m - p)!

Exemplo 2

              Vamos obter o valor de A4,2 + A7,3.

 Temos:

                        A4,2 = 4!/(4 - 2)! = (4 x 3 x 2!)/2! = 4 x 3 = 12

                       A7,3 = 7!/(7 - 3)! = (7 x 6 x 5 x 4!)/4! = 7 x 6 x 5 = 210

 logo segui-se  A4,2 + A7,3 = 12 + 210 = 222.

Exemplo 3

             O quadrangular final de um torneio mundial de basquete é disputado por quatro seleções: Brasil, Cuba, Rússia e EUA. De quantas maneiras distintas podemos ter os três primeiros colocados?

Solução

            Como a ordem do resultado é importante, então podemos usar a fórmula de arranjo simples de quatro elementos tomado três a três.

                                  A4,3 = 4!/(4 - 3)! = (4 x 3 x 2 x 1!)/1! = 4 x 3 x 2  = 24

Portanto, temos  24 maneiras distintas para termos os três primeiros colocados.

Exercícios Propostos.

1º - Calcule:
a)  A9,3                                                                                       b)  A8,4 
2º - Resolva a equação  Ax,2 = 20.

3º - Uma cinemateca dispõe de seis filmes e oferece uma sessão dupla, na qual serão exibidos dois desses filmes: o primeiro às 16 horas, e o segundo às 18 horas. De quantas maneiras distintas a sequência de filmes pode ser escolhidos?

4º- Para eleição do corpo dirigente de uma empresa candidatam-se oito pessoas. De quantas maneiras poderão ser escolhidos presidente e vice-presidente?

5º - A 1ª fase de um torneio de futebol é disputado por 15 equipes no sistema de turno e returno( a equipe A, por exemplo, joga com a equipe B duas vezes: uma em seu campo e a outra no campo de adversário). Quantas partidas são disputadas ao todo, se os dois melhores classificados da 1ª fase fazem a final no mesmo sistema?

6º - Uma pesquisa deseja saber a ordem de preferência dos três maiores ídolos do esporte no Brasil.
a) Quantas respostas diferentes são possíveis, se a cada entrevistado é apresentado uma lista com o nome de 20 esportistas?
b) Quantas dessas respostas têm o nome de Guga como 1º colocado?
c) Em quantas respostas não aparece o nome de Guga?

7º - Uma emissora de tevê dispõe, ao todo, de 20 programas distintos.
a) Quantas são as possíveis sequências de seis programas distintas a serem exibidos em um dia?
b) Suponha que, entre os 20 programas, haja apenas um musical. De quantas maneiras a programação acima pode ser escolhida de modo que sempre se encerre com programa musical?

8º - Para animar uma festa, uma orquestra dispõe de cinco tipos de música: valsa, samba, dance music, MPB  e rock. De quantas maneiras o anfitrião poderá escolher os ritmos de abertura e fechamento da festa, se ele já decidiu manter samba no restante da festa e não pretende repetir nenhum ritmo?

9º - Dispondo dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, quantos números de quatro algarismos distintos podemos formar?

10º - Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9:
a) quantos números de três algarismos distintos podemos formar?
b) quantos números de três algarismos distintos são divisíveis por 5?
c) quantos números de três algarismos distintos não são divisíveis por 5?

Introdução a Análise Combinatória

Os Principio da Análise Combinatória

O princípio fundamental da contagem

             Se os experimentos E¹ ; E² e E³ podem apresentar n¹, n²  e n³ resultados distintos, então o número de resultados distintos, que o experimento compostos de E¹, E² e E³ pode apresentar, nessa ordem é dada pelo produto n¹ . n² . n³

Exemplo 1

     Quantos números de três algarismos podem ser representados com os algarismos 2, 3, 4, 7, 8 e 9?

Solução.

Como  podemos repetir os algarismos, então temos 6 possibilidades na casa das centenas, 6 possibilidades na casa das dezenas e 6 possibilidades na casa das unidades

                  ___  ___  ___

                    6      6      6     daí pelo princípio fundamental da contagem temos 6 x 6 x 6 = 216 números de três algarismos podemos formar.

Exemplo 2

         

     Quantos números naturais de quatro algarismos distintos podem ser representados com os algarismos 1, 2 , 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9?

Solução.

Como não podemos repetir os algarismos, pois são algarismos distintos,então temos 9 possibilidades para casa da unidade de milhar, 8 possibilidades para casa das centenas, 7 possibilidades para casa das dezenas e 6 possibilidades para casa das unidades, assim temos:

               ___ ___ ___ ___ 

                 9     8     7     6       daí pelo principio fundamental da contagem temos 9 x 8 x 7 x 6 = 3024 números de quatro algarismos distintos podemos formar.

Exercícios propostos

1º - O vagão de um trem possui seis portas. De quantas maneiras distintas um passageiro pode entrar          no trem e sair dele por uma porta diferente da que usou para entrar?

2º - Um jantar constará de três partes: entrada, parto principal e sobremesa. De quantas maneiras                distintas ele poderá ser composto, se há como opções oito entradas, cincos pratos principal e               quatro sobremesas?

3º - Quantos números de três algarismos distintos existem?

4º - Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos números ímpares de quatro algarismos podemos           formar?

5º - Quantos números de três algarismos têm pelo menos dois algarismos repetidos?

6º - Deseja-se formar números divisíveis por 5, compostos de quatro algarismos distintos. Quantas           são as possibilidades dispondo-se dos algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6?

7º - Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 formam-se números de quatro algarismos distintos.             Quantos são maiores que 4 326?

8º - Quantos números de dois algarismos distintos podem ser formados utilizando-se exclusivamente         algarismos pares ou exclusivamente algarismos ímpares?

Atividade avaliativa - 1ª série do Ensino Médio

1ª - Dada a função f  de  R em R, tal que f(x) = 10 - x. Calcule:

a) f(0)

b) f(3)

c) f(-2)

d) f(1/2) 

2ª - Um fazendeiro estabelece o preço de saca de café, em função da quantidade de sacas adquiridas pelo comprador. Usando a equação P = 50 + 200/x , em que P é o preço em dólares e x é o número de sacas vendidas.

a) Quanto deverá pagar, por saca, um comprador que adquirir 100 sacas?

b) Quanto deverá pagar, por saca, um comprador que adquirir 200 sacas?

3ª - Determine o domínio e conjunto imagem da f representada a seguir:

Professor: Elenito Galdino

Atividade avaliativa

1ª - Classifique em verdadeira ou falsa as igualdades a seguir:

a) 2 + 5 + 7 = 10 + 4

b) 5 + 2 + 1 = 10

c) 14 + 20 = 30 + 5

d) 3 + 10 = 15 + 10

e) 4 + 5 = 13

f) 8 + 5 = 10 + 3

g) 34 + 45 = 60

h) 45 + 12 = 100

2ª - Determine o valor de x nas igualdades a seguir:

a) x + 1 = 6

b) 2x = 16

c) x + 5 = 8

d) x + 7 = 12

f) 6x = 18

g) x + 3 = 5

h) 8 + x = 18

3ª - Expresse cada enunciado a seguir na linguagem matemática:

a) O triplo de um número mais doze é igual a vinte;

b) A soma de dois números naturais consecutivo é igual a trinta;

c) A quinta parte de um número menos treze é igual a dez;

d) A terça parte de um número é igual a vinte;

 

 

Assuntos da avaliação do 3º Bimestre CRV

9º anos (A e B)

Estatística:

* Frequência;

Medidas estatísticas:

* Média aritmética

* Média aritmética ponderada

* Moda

Noções de probabilidade

8º anos (A e B)

* Frações algébricas

* Equações Fracionárias

* Equações literais

               

Exercício de fixação - Medidas estatísticas - 9º ano

1º - Comprei duas camisas, uma custou R$ 45,00 e a  outra R$ 39,00. Qual é o preço médio dessas camisas?

2º - Determine a média aritmética ponderada dessas notas:

a) 2 e 4 , com pesos 6 e 9, respectivamente;

b) 3 ; 4 e 8, com pesos 1 ; 4 e 5, respectivamente.

3º -  Uma equipe de futebol tem: 3 jogadores com 21 anos; 4 com 22 anos; 2 com 24 anos; e 2 jogadores com 27. Qual é a média desse jogadores?

4º - Determine a moda de cada sequência.

a) 10; 30; 40; 50; 10; 15

b) 12; 13; 14; 15; 15; 13; 20; 21

c) 3; 4; 7; 8; 9; 10

Bom exercício!!

Exercício de fixação - Probabilidade - 9º ano

1º - Uma urna contém 15 bolas numeradas de 1 a 15. Uma bola é extraída ao acaso da urna. Qual a probabilidade de ser sorteada uma bola com número maior ou igual a 11?

2º - Um dado é lançado e observa-se o número da face voltada para cima. Qual a probabilidade de esse número ser:
a) menor que 3?

b) maior ou igual a 3?

3º - Uma moeda é lançada três vezes, sucessivamente. Qual é a probabilidade de observarmos:
a) exclusivamente uma cara?

b) no máximo duas caras?

4º - Numa comunidade residem 100 pessoas. Uma pesquisa sobre os hábitos alimentares desse comunidade revelou que:

* 25 pessoas consome carnes e verduras
* 83 pessoas consome verduras
* 39 pessoas consome carnes

Uma pessoa da comunidade é escolhida ao acaso. Qual a probabilidade de ela:

a) consumir exclusivamente carnes?

b) ter o hábito alimentar de não comer nem carne nem verduras

Bom exercício!!!

Questões da prova de Matemática - 8º ano

Avaliação mensal

1ª – Fatore os polinômios colocando os fatores comuns em evidência.

a) ab + ac.

b) 5x + 20.

2ª – Fatore as seguintes diferenças de dois quadrados.

a) x² – 4

b) a² – 36

3ª – Calcule o valor numérico da fração algébrica x + 5 dividido por 2x - 3  para x = 5.

4ª – Qual número inteiro é representado pela fração algébrica 20x²y dividido por 10x²y?

5ª – Qual fração algébrica simplificada representa o quociente de 15m⁶ n² por 10m⁸n?

Boa Prova!!

Questões da prova mensal de Matemática - 9º ano

Avaliação mensal 3º Bimeatre

1ª – Dada a função definida por f(x) = x² – x – 9 . Determine:

a ) f(0)

b) f(4)

2ª – Esboce o gráfico das seguintes funções.

a) y = x² – 3x – 5

b) y = x² – 4x

3ª – Determine as coordenadas do vértice da parábola definida pela função

y = x² – 8x + 15

4ª – Calcule x para que a função tem valor de mínimo.

a) y = x² + 12x + 11

b) y = x² – 40x

5ª – Qual das “carinhas” abaixo representa uma função do 2º grau que possui ponto de máximo.

Exercício extra - Desafio 1

Observe o gráfico abaixo e determine a lei da função do 2º grau.

Bom desafio!!

Exercício de fixação - Fatoração de polinômios e frações algébricas

1 - Fatore os polinômios colocando os fatores comuns em evidência.
a) ab + ac
b) 7x + 14

2 - Fatore as seguintes diferenças de dois quadrados.
a) x² - 9
b) x² - 4
c) x² - 100

3 - Qual número inteiro é representado pela divisão de 10x²m³ por 5x²m³ ?

4 - Dê o valor numérico da divisão de 5x - 2 por 2x + 3 para x = 2

5 - Qual fração algébrica simplificada representa o quociente de 15m³p² por 10m²p ?

Bom exercício!!

Exercício de fixação - Função polinomial do 2º grau

1 - Dado a função definida por f(x) = x² - 3x + 6, determine:
a) f(0)
b) f(4)

2 - Determine os zeros das funções e faça o esboço do gráfico.
a) y = x² - 6 x + 8
b) y = 3x² + 6x

3 - Determine as coordenadas do vértice da parábola definida pela funções do 2º grau:
a) y = x² - 16
b) y = x² - 6x + 8

4 - Verifique se a função tem ponto de máximo ou ponto de mínimo.
a) y = - 100x² + 300x - 1500
b) y = 16x² + 4x + 1
c) y = -x² - 50x + 4

5 - Dada a função definida por y = 3x² - 4x - 20. Calcule o valor de x para que a função tenha valor mínimo.

Bom exercício!!