Robô faxineiro

Protótipo de um robô faxineiro feito de lixo eletrônico

Reportagem especial - Escola Estadual Professora Irene Garrido

Projeto de robótica - Escola Professora Irene Garrido

Tratorzinho com controle remoto com fios feito de material reciclável

Tratorzinho

Veículos mecatrônicos que competiram na corrida

Escola Professora Irene Garrido - Veículos das turmas 1° ano B,  2° anos A e B - ensino médio.

Projeto Veículo mecatrônico

Montagem do veículo mecatrônico - Escola Irene Garrido

a certou?

Olá Colegas, em breve vamos colocar novos assuntos relacionados a Matemática e suas aplicações:

Números Complexos

Definição

         Número complexo é todo número da forma a + bi, em que a e b são números reais e i é a unidade imaginária.

Exemplos:

a) 5 - 2i
b) 7 + i
c) 3i
d) 0i (que é igual a zero)

Os exemplos anteriores é a forma algébrica de um número complexo, onde temos a parte real e a parte imaginária, por exemplo o número complexo 5 - 2i . a parte real é 5 e a parte imaginária é 2.

Exemplo 1

Determinar x, com x pertencente ao números reais, de modo que o número complexo                         8 + (3x - 6)i seja real.

Solução

Para que o número complexo 8 + (3x - 6)i seja real, temos que ter 3x - 6 = 0, daí  3x = 6, então segue-se que x = 2

Equações do 1º grau

Preparamos para vocês uma lista de exercícios excelentes para testar seus conhecimentos em equações do 1º grau,lápis e papel nas mãos e vamos aos exercícios.

 

Exercício Proposto - Equação do 1º grau

1) 2 x + 6 = x + 1                                                                       2) 5 x – 3 = 2 x + 9

 3) 3 (2x-3) + 2 (x + 1) = 3x + 18                                              4) 2x + 3 (x – 5) = 4x + 9

 5) 2 (x + 1) – 3 (2x – 5) = 6x – 3                                              6) 3x – 5 = x – 2 

7) 3x – 5 = 13                                                                            8) 3x + 5 = 2 

9) x – (2x – 1) = 23                                                                    10) 2x – (x – 1) = 5 – (x – 3) 

11) 18x - 43 = 65                                                                  12) 23x - 16 = 14 - 17x   

13) x(x + 4) + x(x + 2) = 2x² + 12                      14) (x - 5)/10 + (1 - 2x)/5 = (3-x)/4  

15) x - 17 = -9                                                                      28) 3. (x +2) + 5 = x + 12

                                                              
16) 2x = -7                                                                         29) x + 4.(x - 1) = 9 - 2.(x + 3)


17) 3x + 2 = 2x - 11                                                          30) 5.(3x - 2) = 2.(6x + 3)                                            

18) 2x = 16                                                                        31) 2.(3x-1) + 2 .(3-x)

19)  x/2  = -5                                                                     32) 7.(x-1) = 2.(3x+1)
            
 20)  2x + 14  = 5x - 1                                                      33) 2.(3 - y) + 7.(2 - y) = 15 - 4y

21) 4x - 5 = 6x + 11                                                     34) 2.(x - 2) + 5.( 2 - x) + 6.(x + 1)= 0

22) 5x + 4 - 2x = 26 - 3x                                             35) 3. (x - 2) - (1 - x) = 13

23) 5x - 7 - 2x - 2 = 0                                                36) x - (x + 1) = 12 - (3x - 2)

24) x - 8 + 5x = -3 +2x + 7                                        37) x/2  = 12/3
                                                                                                
25) 4x + 9 = 3x + 5                                                    38)2x + 1 = x - 3 

26) -10 + 4 - 2x = -4x - 7                                         39) 5x + 5 = 40                                                                                                                                                      

27) 10x - 8 - 2 = 7x - 4                                             40) 6x - 10 = 50                                                                                                                                          

Equação do 1º grau

 Introdução a Equação do 1° grau

Aula 1

Definição:
Equação é toda sentença matemática aberta expressa por uma igualdade.
Exemplo:
a) x + 4 = 5
b) 2x - 5 = 10

Como podemos observar os exemplos acima são sentenças abertas pois devemos colocar no lugar da letra x um valor para afim de obtermos uma igualdade verdadeira.

Solução de uma equação.
Para resolver uma equação do 1° grau temos que encontrarmos um valor para a variável afim de tornar a igualdade verdadeira. Observe o exemplo a seguir:

Dada a equação do 1º grau 2x - 5 = 5

Para x = 1, temos; 2 x 1 - 5 = 2 - 5 = -3 , falso pois -3 é diferente de 5
Para x = 2 , temos; 2 x 2 - 5 = 4 - 5 = -1 , falso, pois - 1 é diferente de 5
Para x = 3 , temos; 2 x 3 - 5 = 6 -5 = 1 , falso, pois 1 é diferente de 5
Para x = 4 , temos 2 x 4 - 5 = 8 - 5 = 3 , falso, pois 3 é diferente de 5
Para x = 5 , temos; 2 x 5 -5 = 10 -5 = 5, verdadeiro,pois 5 é igual 5


Observando concluir que o único valor encontrado para que a sentença seja verdadeira é quando assume valor igual a 5. Portanto, o número 5 é solução da equação .

Exercício Proposto.
1º - Resolva as equações do 1º grau a seguir.
a) 2x = 12
b) 3x - 2 = 14
c) 4x + 10 = 40
d) 5x - 3 = 60
e) 10x + 25 = 45
f) x - 4 = 4
g) x + 9 = 10

Combinações simples

Definição


Dados m elementos do conjunto I = {a¹, a², ...a}, chama-se combinações simples de p elementos de I todo subconjunto de I formado por p elementos com m e p números naturais e p menor ou igual a m.


Fórmula do cálculo da combinação simples.

Cm,p = m!/p!(m - p)!

Exemplo 1.

   Calcule:

a)   C7,5 = 7!/5!(7 - 5)! = 7!/5! x 2! = 7 x 6 x 5!/5! x 2 = 42/2 = 21

b)   C4,4 = 4!/4!(4 - 4)! = 4!/4! x 0! = 4!/4! = 1

Exemplo 2

Entre oito policiais serão escolhidos cinco para garantir a segurança pessoal de um senador da republica durante um evento. Quantos grupos de segurança diferentes podem ser formados se os escolhidos terão funções idênticas?

Solução

Como temos oito policiais e ordem da escolha não altera o grupo, então podemos usar a fórmula da combinação simples de 8 tomado 5 a 5.

C8,5 = 8!/5!(8 - 5)! = 8!/5! x 3! = 8 x 7 x 6 x 5! /5! x 3 x 2 x 1= 4 x 7 x 3 = 84.

Portanto, temos 84 grupos de segurança.

Exercícios Propostos

1º - Uma comissão de quatro membros deve ser escolhida entre sete pessoas. De quantos modos diferentes essas comissão pode ser formada se seus componentes terão funções idênticas?

2º - Cada uma das dez equipes que disputam um campeonato de futebol enfrenta cada uma das demais um única vez. Quantos jogos compõem esse campeonato?

3º - Considere sete pontos distintos de uma circunferência, conforme a figura:

 

a) Quantas retas ficam determinadas por esses pontos?

b) Quantos triângulos ficam determinados por esses pontos?

c) Quantos quadriláteros convexos ficam determinados por esses pontos?

d) Quantos pentágonos convexos ficam determinados por esses pontos?

e) De todos os pentágonos determinados por esses pontos, quantos têm como vértices o ponto A?

f) De todos os pentágonos convexos determinados por esses sete pontos, quantos têm como lado o segmento AB?

4º - As retas r e s representadas abaixo são paralelas.

a) Quantas retas ficam determinadas por esses pontos?

b) Quantos triângulos ficam determinados por esses dez pontos distintos?e

c) De todos os triângulos determinados por esses dez pontos distintos, quantos têm como vértices o ponto H?

d) De todos os triângulos determinados por esses dez pontos distintos, quantos têm um lado contido na reta r?

e) Quantos quadriláteros convexos ficam determinados por esses dez pontos distintos?

5º - Uma salada de frutas deve conter quantidade iguais de quatro tipos de frutas escolhidas entre uva, maçã, laranja, mamão, morango e melão. Quantas saladas diferentes poderão ser preparadas se maçã e laranja forem ingredientes obrigatórios?

6º - Uma equipe formada por dois arquitetos e por três engenheiros será escolhidos entre cinco arquitetos e seis engenheiros. De quantas maneiras diferentes essa equipe pode ser formada?

Bom Exercício!!

Fatorial de um número natural

Definição

 Seja m um número natural, com m maior ou igual  2. define-se o fatorial de m, representado por m!, como o produto dos números naturais consecutivos m, m - 1, m - 2, ....., 1,isto é:
m! = m(m - 1) (m - 2) ....1.

Observação.
0! = 1
1! = 1, então 0! = 1!

Exemplos.
a) 2! = 2 x 1 = 2
b) 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
c) 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120.
d) 10!/9! = (10 x 9!)/9! = 10


Exercícios propostos.

1º -  Calcule:
a) 7!
b) 3! x 2!
c) 4! - 2!
d) 0!/3!
2º - Classifique em verdadeira ou falsa cada uma das afirmações.
a) 3! + 2! = 5!
b) 3! x 2! = 6!
c) 4! + 4! = 2 x 4!
d) m! = m(m - 1) ( m - 2)!, para todo m natural maior que 2
3º - Simplifique as frações;
a) 6!/3!
b) ( 5! x 8!)/(4! x 7!)
c) m!/(m - 1)!
d) m!/(m + 2)!
4º - Resolvas as equaçoes.
a) (m + 2)!/m! = 12
b) (m - 2)!/(m - 1)! = 1/5
6º - Determine o conjunto dos valores de m tais que:
              m! + (m + 1)!/(m - 1)! = 15.

Bom exercício!!!